Question

如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积，然后分别取△A₁B₁C₁三边的中点A₂B₂C₂，作出了第二个正三角形△A₂B₂C₂，算出第2个正△A₂B₂C₂的面积，用同样的方法作出了第3个正△A₃B₃C₃，算出第3个正△A₃B₃C₃的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△A_nB_nC_n的面积是    ．

Answer 1

【答案】分析：过A₁作A₁D⊥B₁C₁于D，求出高A₁D，求出△A₁B₁C₁的面积，根据三角形的中位线求出B₂C₂=B₁C₁，A₂B₂=A₁B₁，A₂C₂=A₁C₁，推出△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，得出=同理△A₃B₃C₃∽△A₂B₂C₂，推出=得出规律=，代入求出即可．
解答：解：过A₁作A₁D⊥B₁C₁于D，
∵等边三角形A₁B₁C₁，
∴B₁D=，
由勾股定理得：A₁D=，
∴△A₁B₁C₁的面积是×1×=，
∵C₂、B₂、A₂分别是A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁的中点，
∴B₂C₂=B₁C₁，A₂B₂=A₁B₁，A₂C₂=A₁C₁，
即===，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，且面积比是1：4，=
同理△A₃B₃C₃∽△A₂B₂C₂，且面积比是1：4，=
…
∴==×=
故答案为：．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形，三角形的中位线的应用，解此题的关键是根据求出结果得出规律=，题目比较典型，但有一定的难度．