Question

【题目】设， ，……， ，（n为正整数）

（1）试说明是8的倍数；

（2）若△ABC的三条边长分别为、、（为正整数）

①求的取值范围.

②是否存在这样的，使得△ABC的周长为一个完全平方数，若存在，试举出一例，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①k＞1；②当k=5时，△ABC的周长为一个完全平方数．

【解析】试题分析：（1）根据题意可以对an进行化简，从而可以解答本题；（2）①根据（1）中的结果，可以得到ak、ak+1、ak+2的值，从而可以得到k的取值范围；②根据①中ak、ak+1、ak+2的值，可以求得△ABC的周长，从而可以解答本题．

试题解析：（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2

=[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）]=2×4n=8n，

∵8n能被8整除，∴an是8的倍数；

（2）①由（1）可得，ak=8k，ak+1=8（k+1），ak+2=8（k+2），

∴8k+8（k+1）＞8（k+2），解得，k＞1，即k的取值范围是：k＞1；

②存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数，

理由：∵△ABC的周长是：8k+8（k+1）+8（k+2）=24k+24=24（k+1）=4×6×（k+1），

∴△ABC的周长为一个完全平方数，则k+1=6得k=5即可，

即当k=5时，△ABC的周长为一个完全平方数．