Question

3．如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形．
（1）连接DF和BF．求证：DF=BF；
（2）将正方形AEFG绕点A旋转一定角度（如图2），连接DG，在旋转过程中，你能找到与DG相等的线段吗？请加以证明．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=AD，∠A=∠AGF=∠AEF=90°，AG=AE=GF=EF，得出DG=BE，∠DGF=∠BEF=90°，由SAS证明△DGF≌△BEF，得出对应边相等即可；
（2）证出∠DAG=∠BAE，由SAS证明△ABE≌△ADG，得出对应边相等即可．

解答 （1）证明：如图1所示：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠AGF=∠AEF=90°，AG=AE=GF=EF，
∴DG=BE，∠DGF=∠BEF=90°，
在△DGF和△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{GF=EF}&{\;}\\{∠DGF=∠BEF}&{\;}\\{DG=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF=BF；
（2）解：如图所示：BE=DG，理由如下：
根据题意得：∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAE=∠DAG}&{\;}\\{AE=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．