Question

【题目】（题文）如图，在等腰直角三角形MNC中，CN＝MN＝，将△MNC绕点C顺时针旋转60°，得到△ABC，连接AM，BM，BM交AC于点O.

(1)∠NCO的度数为________；

(2)求证：△CAM为等边三角形；

(3)连接AN，求线段AN的长．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）由旋转可得∠ACM=60°，再根据等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，运用角的和差关系进行计算即可得到∠NCO的度数；

（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行证明即可；

（3）根据△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，判定△ACN≌△AMN，再根据Rt△ACD中，AD=CD=，等腰Rt△MNC中，DN=CM=1，即可得到AN=AD﹣ND=﹣1．

（1）由旋转可得∠ACM=60°．

又∵等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，∴∠NCO=60°﹣45°=15°；

故答案为：15°；

（2）∵∠ACM=60°，CM=CA，∴△CAM为等边三角形；

（3）连接AN并延长，交CM于D．

∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，∴NC=NM=，CM=2，AC=AM=2．在△ACN和△AMN中，∵，∴△ACN≌△AMN（SSS），∴∠CAN=∠MAN，∴AD⊥CM，CD=CM=1，∴Rt△ACD中，AD=CD=，等腰Rt△MNC中，DN=CM=1，∴AN=AD﹣ND=﹣1．