如图平面直角坐标系中.抛物线y=-x2+x+2 交x轴于A.B两点.交y轴于点C．(1)求证:△ABC为直角三角形,在线段OB上移动.交x轴于点D.交抛物线于点E.交BC于点F．求当m为何值时.EF=DF?(3)连接CE和BE后.对于问题“是否存在这样的点E.使△BCE的面积最大? 小红同学认为:“当E为抛物线的顶点时.△BCE的面积最大 .她的观点是否正确?提出你的见� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图平面直角坐标系中，抛物线y=-

x²+

x+2 交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）直线x=m（0＜m＜4）在线段OB上移动，交x轴于点D，交抛物线于点E，交BC于点F．求当m为何值时，EF=DF？
（3）连接CE和BE后，对于问题“是否存在这样的点E，使△BCE的面积最大？”小红同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BCE的面积最大”。她的观点是否正确？提出你的见解，若△BCE的面积存在最大值，请求出点E的坐标和△BCE的最大面积．

解: （1）对于y=-x²+x+2
当y=0时, y=-x²+x+2=0，解得x₁=-1, x₂=4
当x=0时, y=2
∴A、B、C三点的坐标分别为 A（-1,0）,B（4,0）,C（0,2）
∴OA=1，OB= 4，OC=2， ∴AB=OA+OB=5，∴AB²=25
在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=1²+2²=5
在Rt△COB中，BC²=OC²+OB²=2²+4²=20
∴AC²+BC²=AB²
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形。
（2）解：∵直线DE的解析式为直线x=m，∴OD= m，DE⊥OB
∵OC⊥AB，∴OC∥DE，∴△BDE∽△BOC ∴
∵OC=2，OB=4，BD=OB-OD=4-m，∴DF=
当EF=DF时，DE=2DF=4-m，∴E点的坐标为（m, 4-m）
∵E点在抛物线
解得m₁=1，m₂=4. ∵0＜m＜4，∴m₂=4舍去， ∴当m=1时，EF=DF
（3）解：小红同学的观点是错误的
∵OD= m, DE⊥OB， E点在抛物线
∴E点的坐标可表示为
∴DE=-m²+m+2
∵DF=2-m，∴EF=DE-DF=-m ²+2m
∵S_△BCE=S_△CEF+S_△BEF= EF·OD+ EF·BD= EF·（OD+BD） =EF·OB= EF·4=2EF
∴S_△BCE=-m ²+4m=-（m²-4m+4-4）=-（m-2）²+4
∴当m=2时, S_△BCE有最大值,△BCE的最大面积为4
∵当m=2时,-m ²+m+2=3，∴E点的坐标为（2, 3）
而抛物线y=-x²+x+2的顶点坐标为（，），∴小红同学的观点是错误的。