题目内容
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动，过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N，P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒。
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？当t为何值时，四边形PCDQ是等腰梯形？
（3）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形。
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？当t为何值时，四边形PCDQ是等腰梯形？
（3）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形。
解：（1）在直角梯形ABCD中，
∵QN⊥AD，∠ ABC=90°，
∴四边形ABNQ是矩形
∵QD=t，AD=3，
∴BN=AQ=3-t，
∴NC=BC-BN=4-（3- t）=t+1
∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=5
∵QN⊥AD，∠ ABC=90°，
∴MN∥AB，
∴△MNC∽△ABC
∴ MC=
。
（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。
∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。
当QP=CD时，四边形PCDQ构成等腰梯形，过点D作高DE，易证PN=CE=1
∴NE=4-t-2=2-t，
由QD=NE，t=2-t，
∴t=1时，四边形PCDQ构成等腰梯形。
（3）分3种情况：①当PM=MC时，△PMC为等腰三角形
则PN=NC，即3-t-t=t+1，t=
②当CM=PC时，△PMC为等腰三角形，即4-t=
得t=
；
③当PM=PC时，△PMC为等腰三角形
∵PC=4-t，NC=t+1，
∴PN=2t-3，由△MNC∽△ABC ，得MN=
由勾股定理可得（
）2+（2t-3）2=（4-t）2
得t=
综上所述：当t=
，t=
，t=
时△PMC为等腰三角形。
∵QN⊥AD，∠ ABC=90°，
∴四边形ABNQ是矩形
∵QD=t，AD=3，
∴BN=AQ=3-t，
∴NC=BC-BN=4-（3- t）=t+1
∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=5
∵QN⊥AD，∠ ABC=90°，
∴MN∥AB，
∴△MNC∽△ABC
∴ MC=
。（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。
∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。
当QP=CD时，四边形PCDQ构成等腰梯形，过点D作高DE，易证PN=CE=1
∴NE=4-t-2=2-t，
由QD=NE，t=2-t，
∴t=1时，四边形PCDQ构成等腰梯形。
（3）分3种情况：①当PM=MC时，△PMC为等腰三角形
则PN=NC，即3-t-t=t+1，t=
②当CM=PC时，△PMC为等腰三角形，即4-t=
得t=
；③当PM=PC时，△PMC为等腰三角形
∵PC=4-t，NC=t+1，
∴PN=2t-3，由△MNC∽△ABC ，得MN=
由勾股定理可得（
）2+（2t-3）2=（4-t）2得t=
综上所述：当t=
，t=，t=时△PMC为等腰三角形。
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