Question

16．如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF=OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．

Answer 1

分析 （1）结论：DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；
（2）①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题；
②求出EC、EF、弧长CF即可解决问题．

解答 解：（1）结论：DE是⊙O的切线．
理由：∵CD⊥AD，
∴∠D=90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD平行OC，
∴∠D=∠OCE=90°，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）①连接BF．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥AF，AB=OC，
∴∠AFB=∠CBF，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CF}$，
∴AB=CF，
∴CF=OC．

②在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60°，∠OCE=90°，
∴OE=2OC=24，EC=12$\sqrt{3}$，
∵OF=12，
∴EF=12，
∴$\widehat{CF}$的长=$\frac{60π•12}{180}$=4π，
∴阴影部分的周长为4π+12+12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查切线的判定、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，属于中考常考题型．