Question

【题目】如图①，中，，点为边上一点，于点，点为中点，的延长线交于点．

（1）求证；；

（2）若，求；

（3）如图②，若，点为的中点，连接，求证；．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

（1）根据直角三角形斜边中线的性质证明即可．

（2）先根据等腰三角形的性质得：∠HCB=∠HBC，∠HEB=∠HBE，由三角形外角的性质得：∠DHC=2∠HBC，∠DHE=2∠HBE，从而有∠CHE=2∠CBA，计算∠CBA=50°，根据平角的定义可得结论；

（3）如图②，连接AH，先证明AE=ED=EH=DH=CH，得△DEH是等边三角形，所以∠DHC=30°，∠AEH=150°，再证明AC=AH，根据等腰三角形三线合一可得AQ⊥CH，最后根据同位角相等，两直线平行可得结论．

（1）证明：∵，

∴，

在和中，

，为中点，

∴，，

∴；

（2）解：如图：

∵为中点，

∴，

∴

∴，，

在和中，

，，

∴，，

∴，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）证明；如图，连接，

∵

∴，，，

∵，，

∴，

∴为等边三角形，

∴，

∴，，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵为中点，

∴，

∴，

∴，

∴.