Question

【题目】如图，已知是⊙的直径， 是⊙上一点，∠的平分线交⊙于点，交⊙的切线于点，过点作⊥，交的延长线于点．

（1）求证： 是⊙的切线；

（2）若．求值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题解析：试题分析：（1）作辅助线，连接OD．根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可；
（2）①连接BD．根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的对应边成比例求得；②连接OC，交AD于G，由①，设BE=2x，则AD=3x，由于△BDE∽△ABE，得到比例式求得AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，根据特殊角的三角函数值即可得到结果．

试题解析：（1）证明：如图，连结OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴AF∥OD，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线，

（2）①连接BD，
∵直径AB，
∴∠ADB=90°，
∵圆O与BE相切，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，
∴∠DAB=∠DBE，
∴∠DBE=∠FAD，
∵∠BDE=∠AFD=90°，
∴△BDE∽△AFD，
∴

②连接OC，交AD于G，
由①，设BE=2x，则AD=3x，
∵△BDE∽△ABE，∴，∴，
解得：x1=2，x2=-（不合题意，舍去），
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，
∴sin∠EAB=，
∴∠EAB=30°，
∴∠FAB=60°．