Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B是切点，OC平行于弦AD，连接CD，过D点作DE⊥AB于E，交A与C的连线于点P．问DP与PE是否相等？如果相等给出证明；如果不相等，说明理由．

Answer 1

解：DP与PE相等．
证明如下：
连DO，过A点作⊙O的切线AF交CD的延长线于点F，如图，
∵OC∥AD，
∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，
而OD=OA，则∠ODA=∠OAD，
∴∠DOC=∠BOC，
∴△DOC≌△BOC，
∴∠ODC=∠OBC，
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴DC为⊙O的切线，
∴FA=FD，CB=CD，
又∵DE⊥AB，FA⊥AB，CB⊥AB，
∴FA∥DE∥BC，
∴=①，
在△ACF，∵DP∥FA，
∴=，即=，
∴=②，
在△ABC中，∵EP∥BC，
∴=③，
由①②③得，=，
而BC=DC，
∴EP=DP．
分析：连DO，过A点作⊙O的切线AF交CD的延长线于点F，由OC∥AD，得到∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，而∠ODA=∠OAD，则∠DOC=∠BOC，得到△DOC≌△BOC，得∠ODC=∠OBC；又BC是⊙O的切线，∠OBC=90°，得∠ODC=90°，则DC为⊙O的切线，得到
FA=FD，CB=CD；由FA∥DE∥BC，得=①；由DP∥FA，得=，即=，则=②；由EP∥BC，=③，最后由①②③得到，=，而BC=DC，即有DP与PE相等．
点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．也考查了圆的切线的判定、平行线分线段成比例定理以及三角形的相似的判定与性质．