Question

如图，AB是半圆O的直径，长为30cm，延长AB到点C，使BC=

1

2

AB，有一个动点P从点B出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当到点A立即停止运动．
（1）利用尺规作图，CP与半圆O相切时点P的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求CP与半圆O相切时，点P运动的时间．

Answer 1

分析：（1）以OC为直径作圆，与半圆AB的交点就是P，即可作出图形，如图所示；
（2）连接OP，由AB的长求出BC的长，即可得到OP与OC的长，由PC为半圆的切线，得到OP与PC垂直，在直角三角形OPC中，根据余弦函数定义得到cos∠POC的值，进而求出∠POC的度数，又半径为OP的长，根据弧长公式求出弧BP的长，即为点P运动的路程，利用路程除以速度即可求出点P运动的时间．

解答：解：（1）因为OB=BC，所以以点B为圆心，BC为半径画圆，与半圆交于点P，
所以点P为所求的点．如图所示：（2分）

（2）连接OP，
∵AB=30，BC=

1

2

AB，∴OP=OB=15，OC=30，（3分）
∵CP与半圆O相切于点P，∴CO⊥OP，（5分）
∴cos∠POC=

OP

OC

=

15

30

=

1

2

，∴∠POC=60°，（5分）
则

PB

=

60 ×π×15

180

=5π，
所以点P运动时间=5π÷2π=2.5（s）．
答：CP与半圆O相切时，点P运动的时间为2.5s．（7分）

点评：此题考查了尺规作图，弧长公式及切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．