Question

如图，矩形ABCD中，AB=DC=6，AD=BC=2

3

，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上运动，设点P运动的时间是t秒，以AP为边作等边△APQ（使△APQ和矩形ABCD在射线AB的同侧）．

（1）当t为何值时，Q点在线段DC上？当t为何值时，C点在线段PQ上？
（2）设AB的中点为N，PQ与线段BD相交于点M，是否存在△BMN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）设△APQ与矩形ABCD重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）求出DQ，即可求出AP，即可得出答案，求出BP，求出AP即可；
（2）分为三种情况：画出图形，BM=MN，BN=MN．BM=BN，根据等腰三角形的性质求出即可．
（3）分为四种情况，画出图形，①0≤t≤4，②4＜t≤6，③6＜t＜8，④t≥8，求出各个三角形的面积，根据图形即可得出答案．

解答：解：
（1）如图1，当Q点在线段DC上时，
∵AD=2

3

，∠ADQ=90°，∠DAQ=90°-60°=30°，
∴设DQ=x，则AQ=2x，
∴（2

3

）²+x²=（2x）²，
∴x=2，
∴AP=4，
∴t=4，
∴当t=4秒时，Q在线段DC上．
如图2，

∵当C在PQ上时，点P在AB延长线上，由题意得：BP=

BC

tan60°

=

2 3

3

=2，
∴AP=AB+BP=6+2=8，
∴t=8，
∴当t=8秒时，点C在线段PQ上．

（2）△BMN是等腰三角形，分为三种情况：
①
如图3，当BN=MN时，
∵∠NMB=∠NBM=30°，
∴∠ANM=60°，
∴此时Q点在BD上，P点与N重合，
∴AP=AN=3，
∴t=3；
②
如图4，当BM=BN时，作ML⊥AB于L，
∵BM=BN，
∴BL=BM•cos30°=3×

3

2

=

3 3

2

，
ML=BM•sin30°=

3

2

，LP=

3

2

，BP=MP=

3

，
∴AP=6-

3

，
∴t=6-

3

；
③
如图5，当BM=MN时，∠MNB=∠MBN=30°，
∵∠QPA=60°，
∴∠NMP=90°
∴BP=MP=

1

2

NP，
∴BP=1，AP=5，
∴t=5，
综合上述，当t=3秒或（6-

3

）秒或5秒时，△BMN是等腰三角形．

（3）①
当0≤t≤4时，过Q作QR⊥AP于R，
∵△APQ是等边三角形，
∴QA=QP=t，∠QAP=60°，
∴AR=PR=

1

2

t，
∴由勾股定理得：QR=

3

2

t，
∴S=S_△AQP=

1

2

×t×

3

2

t，
即S=

3

4

t²；
②如图7，
当4＜t≤6时，
∵在Rt△ADF中，∠ADF=90°，∠DAF=90°-60°=30°，AD=2

3

，
∴DF=AD×tan30°=2，
过Q作QR⊥AP于R，交DC于W，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴△QFO∽△QAP，
∴

FO

AP

=

QW

QR

，
∴

FO

t

=

3 2 t-2 3

3 2 t

，
∴FO=t-4，
∴S=S_△APQ-S_△QFO=

3

4

t²-

1

2

×（t-4）×

3

2

（t-4），
S=2

3

t-4

3

；
③如图8，当6＜t＜8时，

∵BP=t-6，∠P=60°，
∴BS=

3

（t-6），
∴CS=2

3

-

3

（t-6）=8

3

-

3

t，
∵∠CSO=∠BSP=90°-60°=30°，
∴CO=

CS

3

=8-t，
∴S=S_△AQP-S_△QFO-S_△SBP=

3

4

t²-

1

2

×（t-4）×

3

2

（t-4）-

1

2

×（t-6）×

3

（t-6），
S=-

3

2

t²+8

3

t-22

3

；

④当t≥8时，如图9，

∵Rt△ADF中，AD=2

3

，∠DAF=90°-60°=30°，
∴DF=AD•tan30°=2，
∴S=S_梯形CFAB=

1

2

×（CF+AB）BC=

1

2

×（6-2+6）×2

3

=10

3

，
即S=10

3

．

点评：本题考查了三角形的面积，勾股定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，题目比较好，难度偏大，用了分类讨论思想．