Question

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=

k

x

的图象相交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C、E，过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于点K，连接
CD．若点A，B在反比例函数y=

k

x

的图象的同一分支上，如图，问：
（1）S_{四边形AEDK}

=

S_{四边形CFBK}（选择“＜、=、＞”填空），并写出上述关系的验证过程；
（2）求证：△AKB∽△CKD；
（3）求证：BN=AM．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S_矩形AEOC=k，S_矩形BDOF=k，则S_矩形AEOC-S_矩形ODKC=S_矩形BDOF-S_矩形ODKC，所以S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}；
（2）由于S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}，根据矩形的面积公式得到KD•KA=KC•KB，变形为

KD

KB

=

KC

KA

，又∠CKD=∠AKB=90°，根据相似三角形的判定方法即可得到△AKB∽△CKD；
（3）由于△AKB∽△CKD，根据相似的性质得∠KCD=∠KAB，根据平行线的判定方法得DC∥AB，则易得四边形ACDN、四边形BDCM都是平行四边形，利用平行四边形的性质得AN=DC，BM=DC，所以AN=BM，然后根据等量代换即可得到BN=AM．

解答：（1）解：∵AC⊥x轴，AE⊥y轴，BF⊥x轴，BD⊥y轴，
∴S_矩形AEOC=k，S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF，
∴S_矩形AEOC-S_矩形ODKC=S_矩形BDOF-S_矩形ODKC，
∴S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}；

（2）证明：∵S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}，
∴KD•KA=KC•KB，即

KD

KB

=

KC

KA

，
∵∠CKD=∠AKB=90°，
∴△AKB∽△CKD；

（3）∵△AKB∽△CKD，
∴∠KCD=∠KAB，
∴DC∥AB，
∵AC∥DN，BD∥CM，
∴四边形ACDN、四边形BDCM都是平行四边形，
∴AN=DC，BM=DC，
∴AN=BM，
∴BN=AM．
故答案为：=．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和矩形和平形四边形的判定与性质；熟练运用相似三角形的判定与性质．