Question

在边长为2的正方形ABCD中，O为对称中心，正方形OEFG绕点O旋转，边OE、OG分别与边BC、CD交于点M、N．
（1）求证：OM=ON；
（2）探究四边形OMCN的面积是否随M、N的位置的变化而变化，说明理由；
（3）连结MN，探究在旋转正方形OEFG的过程中，△OMN的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可得∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，然后利用“角边角”证明△AOM和△BON全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）由（1）知道△OBM与△OCN的面积相等，故四边形OMCN的面积=

1

4

正方形ABCD的面积=1，故可以得到四边形OMCN的面积不变，为1；
（3）当OM⊥BC时，OM和ON存在最小值，此时OM=ON=1，然后利用勾股定理求得MN的长，从而可以确定△OMN的周长的最小值；

解答：解：（1）证明：在正方形ABCD中，∠OBM=∠OCN=45°，OC=OB，
∵∠BOM+∠MOC=∠BOC=90°，
∠CON+∠MOC=∠EOG=90°，
∴∠BOM=∠CON，
∵在△BOM和△CON中，

∠OBM=∠OCN OB=OC ∠BOM=∠CON

，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴OM=ON；

（2）不变；
理由：由（1）知道△OBM与△OCN的面积相等，故四边形OMCN的面积=

1

4

正方形ABCD的面积=1；

（3）当OM⊥BC时，OM和ON存在最小值，
此时OM=ON=1，
由勾股定理得：NM=

OM2+ON2

=

2

，
∴△OMN的周长存在最小值2+

2

；

点评：本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．