Question

已知二次函数y=

m

x²+（3-

m

）x-3（m＞0）的图象与x轴交于点A（a，0）和B（b，0），且a＜b．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求代数式

m

a²+（3-

m

）a+ma²+6

m

a+9的值．

Answer 1

分析：（1）利用“十字相乘法”将一元二次方程转化为（

m

x+3）（ x-1）=0．由此可以求得点A、B两点的横坐标；
（2）由（1）a=-

3

m

，得a

m

=-3．然后把x=a代入方程mx²+（3-

m

）x-3=0，则

m

a²+（3-

m

）a+ma²+6

m

a+9=

m

a²+（3-

m

） a+（

m

a+3）²=3．

解答：解：（1）∵二次函数y=

m

x²+（3-

m

）x-3 （m＞0）的图象与x轴交于点 （a，0）和（b，0），
∴令y=0，即

m

 x²+（3-

m

）x-3=0．即（

m

x+3）（ x-1）=0．
∵m＞0，
∴

m

＞0．
解得a=-

3

m

，b=1   
∴A（-

3

m

，0）和B（1，0）；

（2）由（1）a=-

3

m

，得a

m

=-3．
由a是方程mx²+（3-

m

）x-3=0的根，得

m

a²+（3-

m

）a=3．
∴

m

a²+（3-

m

）a+ma²+6

m

a+9=

m

a²+（3-

m

） a+（

m

a+3）²=3．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，充分利用了抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．