Question

如图，已知反比例函数y=

k1

2x

的图象与一次函数y=k₂x+b的图象交于A，B两点，A（1，n），B（-

1

2

，-2），请你在x轴上找点P，使△AOP为等腰三角形，则这样的点P有

4

个，其坐标分别是

（

2

，0），（-

2

，0），（1，0），（2，0）

．

Answer 1

分析：将点B的坐标代入反比例函数解析式，得出k的值，将点A的横坐标代入，得出点A的坐标，求出OA的长度，分情况讨论：①OA=OP，②AO=AP，③PO=PA；分别得到点P的坐标即可．

解答：解：将点B（-

1

2

，-2），代入反比例函数y=

k1

2x

，可得：-2=

k1

-1

，
解得：k₁=2，
∴反比例函数解析式为：y=

1

x

，
将点A的横坐标x=1代入y=

1

x

，可得y=1，
故点A的坐标为（1，1），
则OA=

2

，
①若OA=OP，如图①所示：

此时可得P₁（

2

，0），P₂（-

2

，0）；
②若AO=AP，如图②所示：

此时可得P₃（2，0）；
③若PO=PA，如图③所示：
，
此时△OAP₄是等腰直角三角形，P₄（1，0）．
综上可得点P的坐标为：（

2

，0）或（-

2

，0）或（1，0）或（2，0），共4个．
故答案为：4、（

2

，0），（-

2

，0），（1，0），（2，0）．

点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征及等腰三角形的判定，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的综合运用．