Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积．

Answer 1

分析：（1）根据-x²+2x+3=0，解得x₁=3、x₂=-1，即点A（-1，0），B（3，0），根据抛物线y=-x²+2x+3交y轴于点C，可知当x=0时，y=3，所以C（0，3）；
（2）抛物线y=-x²+2x+3的点顶为M，根据顶点公式可知M（1，4），过点M作ME⊥AB于E，则ME=4，OE=1，BE=2，OC=3，所以S_△BCM=S_{四边形COBM}-S_△BOC=3．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+2x+3交x轴于A、B两点，
∴令y=0，则0=-x²+2x+3，
∴（x-3）（x+1）=0
∴x₁=3，x₂=-1，
∴点A（-1，0），B（3，0），
又∵抛物线y=-x²+2x+3交y轴于点C，
∴点C（0，3）．

（2）把y=-x²+2x+3配方得y=-（x-1）²+4，
∵抛物线y=-x²+2x+3的顶点为M，
∴M（1，4），
∴过点M作ME⊥AB于E，则ME=4，OE=1，
∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3，
∴S_△BCM=S_{四边形COBM}-S_△BOC，
=S_梯形COEM+S_△BEM-S_△BOC，
=

(3+4)×1

2

+

2×4

2

-

3×3

2

，
=3．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法以及二次函数和一元二次方程的关系．