Question

如图，⊙O为△BCD的外接圆，过C点作⊙O的切线交BD的延长线于A，∠ACB=75°，∠ABC=45°，则

CD

DB

的值为（　　）

• A．

  3

  2

• B．2
• C．

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：首先设圆的半径为r，连接OB，OC，OD，由弦切角定理，可得∠DCA=∠CBD=45°，继而求得∠BCD=30°，则可得△BOD是等边三角形，△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．

解答：解：设圆的半径为r，连接OB，OC，OD，
∵AC为⊙O的切线，
∴∠DCA=∠CBD=45°，
∴∠BCD=∠BCA-∠DCA=75-45=30°，
∴∠BOD=2∠BCD=60°，
∴△BOD是等边三角形，BD=r，
∵∠CBD=45°，
∴∠COD=90°，
∴CD=

2

OC=

2

r，
∴

CD

DB

=

2

．
故选C．

点评：此题考查了弦切角定理、切线的性质、等腰直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．