Question

3．如图，直线y=mx+4交x轴于D，交y轴于C，交双曲线y=$\frac{k}{x}$在第二象限交于点A和点B（-3，n），且S_△OBE=$\frac{3}{2}$．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式mx+4＞$\frac{k}{x}$的解集；
（3）若将线段AB在直线y=mx+4上平移到PQ位置，直接写出OP+OQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据S_△OBE=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{2}$结合图象可得反比例函数解析式，再求得点B的坐标，代入一次函数解析式即可得；
（2）联立方程组求出直线和双曲线的交点A、B的坐标，结合函数图象可得答案；
（3）由OP+OQ≥2$\sqrt{OP•OQ}$知当OP=OQ时OP+OQ取得最小值，再根据勾股定理和等腰直角三角形的性质可得PO的长度，继而得出答案．

解答 解：（1）∵S_△OBE=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{2}$，
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=-3，即反比例函数解析式为y=-$\frac{3}{x}$，
将点B（-3，n）代入，得：n=1，
∴B（-3，1），
将点B（-3，1）代入y=mx+4，得：-3m+4=1，
解得：m=1，
∴直线解析式为y=x+4；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=x+4}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点A（-1，3）、B（-3，1），
由图象可得：不等式mx+4＞$\frac{k}{x}$的解集为-3＜x＜-1；

（3）∵OP+OQ≥2$\sqrt{OP•OQ}$，
∴当OP=OQ时，OP+OQ取得最小值，
如图，作OE⊥PQ于点E，

∵PQ=AB=$\sqrt{（-3+1）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴PE=QE=$\sqrt{2}$，
由y=-x+4知，OD=4，∠CDO=45°，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD=2$\sqrt{2}$，
则PO=$\sqrt{P{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴OP+OQ=2$\sqrt{10}$，
即OP+OQ的最小值为2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义是解题的关键．