Question

如图，已知直线y=x+k和双曲线y=（k为正整数）交于A，B两点．

（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；

（2）当k=2时，求△AOB的面积；

（3）当k=1时，△OAB的面积记为S₁，当k=2时，△OAB的面积记为S₂，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S_n，若S₁+S₂+…+S_n=，求n的值．

Answer 1

解：（1）当k=1时，直线y=x+k和双曲线y=化为：y=x+1和y=，

解得，，

∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），

（2）当k=2时，直线y=x+k和双曲线y=化为：y=x+2和y=，

解得，，

∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）

设直线AB的解析式为：y=mx+n，

∴

∴，

∴直线AB的解析式为：y=x+2

∴直线AB与y轴的交点（0，2），

∴S_△AOB=×2×1+×2×3=4；

（3）当k=1时，S₁=×1×（1+2）=，

当k=2时，S₂=×2×（1+3）=4，

…

当k=n时，S_n=n（1+n+1）=n²+n，

∵S₁+S₂+…+S_n=，

∴×（…+n²）+（1+2+3+…n）=，

整理得：，

解得：n=6．