Question

如图在△ABC中,BE平分∠ABC,∠C=90°，D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.

(1)求证:AC是⊙O的切线;

(2)已知sinA=,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.

Answer 1

解:（1）连接OE，

∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.

∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,  

∴∠OEB=∠EBC, ∴OE∥BC,            

∵∠C=90⁰,∴∠AEO=∠C=90⁰,

∴AC是⊙O切线.  

（2）连接OF．

∵sinA=  ，∴∠A=30°   

∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，∴AE=4

∠AOE=60°，∴AB=12，

∴BC=  AB=6   AC=6 ，

∴CE=AC-AE=2  ．

∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是等边三角形．

∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°．

∴S_阴影=S_梯形OECF -S_扇形EOF

= （2+4）×2 -

 =6-