Question

【题目】在△ABC中，AC＝5，AB＝7，BC＝4，点D在边AB上，且AD＝3，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上作正方形PDMN，设点P运动的时间为t，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．

（1）用含有t的代数式表示线段PD的长

（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值

（3）求S与t的函数关系式

（4）当点P在线段AD上运动时，作点N关于CD的对称点N′，当N′与△ABC的某一个顶点所连的直线平分△ABC的面积时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）当0＜t≤3时，PD＝3﹣t；当3＜t≤7时，PD＝t﹣3；（2）满足条件的t的值为s或5s；（3）；（4）满足条件的t的值为1s或s或s．

【解析】

（1）分两种情况：当0＜t≤3时，PD＝3﹣t；当3＜t≤7时，PD＝t﹣3；

（2）根据（1）的两种情况，运用平行分线段成比例定理即可求得t的值；

（3）正方形PDMN与△ABC重叠部分的形状依次为五边形、正方形、五边形，

可分三段分别解答：

①如图4中，当0＜t≤ 时，重叠部分是五边形EFPDM；

②如图5或6中，当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN；

③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM；

运用平行分线段成比例定理，分别求S与t的函数关系式；

（4）根据题意分析，可知点N关于CD的对称点N′落在AC、BC、AB三边的中线上，

分三种情况,画出图形，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．

（1）如图1中，作CD′⊥AB于D．

设 ，则

由勾股定理得： ； ；

解得： ，即

当0＜t≤3时，PD＝3﹣t．

当3＜t≤7时，PD＝t﹣3．

（2）①如图2中，当点N在AC上时，

∵MN∥AD，

解得.

②如图3中，当点N在BC上时，

∵MN∥BD，

解得t＝5

综上所述，满足条件的t的值为s或5s．

（3）正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积依次为五边形、正方形、五边形，所以分三种情况讨论：

①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，

s＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣ （3﹣t﹣ t）2＝ ；

②如图5或6中，当 ＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN，s＝t2﹣6t+9

③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，s＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t﹣3）2﹣ [（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．

综上所述，．

（4）N关于CD的对称点N′与△ABC的某一个顶点所连的直线平分△ABC的面积,

则N′落在△ABC的中线上，所以分三种情况讨论：

如图8中，当点N′落在中线AE上时，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．

∵JN′∥EK，

,

则有 ，

解得t＝1．

如图9中，当点N′落在中线BG上时，作GK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．

∵N′J∥GK，

,

解得

如图10中，当点N′落在中线CF上时，

∵MN′∥DF，

,

，

解得

综上所述，满足条件的t的值为1s或 s或 s．