题目内容

已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，连接DP，PE．
（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，并证明你的结论．
（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PE的关系还成立吗？______（填：成立或不成立）．
（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD= $数学公式$ ，设AP=x，△PCE的面积为y，当AP＞ $数学公式$ AC时，求y与x之间的函数关系式．

解：（1）PE=PD，PE⊥PD
①如图1，2，当点E在射线BC边上，且交点P在对角线AC上时，连接PB
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP．
在△BAP与△DAP中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴△BAP≌△DAP（SAS）．

∴PB=PD，
∵点P在BE的垂直平分线上，
∴PB=PE，
∴PE=PD，
∵△BAP≌△DAP，
∴∠DPA=∠APB．
又∵∠APB=180°-45°-∠ABP=135°-∠ABP，
∴∠DPA=135°-∠ABP．
又∵PE=PB，
∴∠BPE=180°-2∠PBE，
∴∠DPE=360°-∠DPA-∠APB-∠BPE，
=360°-2（135°-∠ABP）-180°+2∠PBE，
=360°-270°+2∠ABP-180°+2∠PBE，
=90°，

∴PE⊥PD；
②如图3，P、C两点重合，DC=CE，∠DCE=90°，
则PE=PD，PE⊥PD．
③如图4，当点E在BC边的延长线上且点P在对角线AC的延长线上时，
连接PB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP．
在△BAP与△DAP中
∵ $\text{[math]}$ ，
∴△BAP≌△DAP（SAS）．
∴PB=PD，
∴∠PBA=∠PDA，
∴∠PBE=∠PDC，
∵点P在BE的垂直平分线上，
∴PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PDC=∠PEB，
∴∠DFC=∠EFP，
∴∠EPF=∠DCF=90°，
∴PE⊥PD，
故结论PE=PD，PE⊥PD 成立；

（2）当四边形ABCD是矩形，无法证明△BAP≌△DAP，
故（1）中的猜想不成立．
故答案为：不成立；

（3）①如图5，当点P在线段AC上时，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，
∴DC=AB=6，
∴∠ABC=∠ADC=90°，

∵cos∠ACD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AD=8，AC=10，
作PQ⊥BC于点Q，
∴PQ∥AB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BQ= $\text{[math]}$ x，
∴BE= $\text{[math]}$ x，
∴CE= $\text{[math]}$ x-8，
∴△CPQ∽△CAB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PQ=6- $\text{[math]}$ x，
∴y= $\text{[math]}$ EC×PQ，
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ x-8）（ 6- $\text{[math]}$ x），
=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-24（5＜x＜10）；
②如图6，当点P在线段AC的延长线上时，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴PQ= $\text{[math]}$ x-6，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CQ= $\text{[math]}$ x-8，
∴BQ= $\text{[math]}$ x，
∴BE= $\text{[math]}$ x，
∴EC= $\text{[math]}$ x-8，
∴y= $\text{[math]}$ EC×PQ，
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ x-8）（ $\text{[math]}$ x-6），
= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+24（x＞10）．
分析：（1）根据①当点E在射线BC边上，且交点P在对角线AC上时，②P、C两点重合时，③当点E在BC边的延长线上且点P在对角线AC的延长线上时，利用三角形的全等判定以及正方形性质，可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）当四边形ABCD是矩形，无法证明△BAP≌△DAP，故（1）中的猜想不成立．
（3）根据①当点P在线段AC上时，②当点P在线段AC的延长线上时，利用三角形相似得出，分别分析即可得出y与x之间的函数关系式．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质的判定与性质等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．