Question

【题目】如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．
（1）由AB，BD， 围成的曲边三角形的面积是；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）求线段DE的长．

Answer 1

【答案】
（1） +
（2）解：由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，

∵DE∥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（3）解：∵AB=10、AC=6，

∴BC= =8，

过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，

∴AF=OD=FD=5，

∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，

∴tan∠EAF=tan∠CBA，

∴ = ，即 = ，

∴ ，

∴DE=DF+EF= +5= ．

【解析】解：（1）如图，连接OD，
∵AB是直径，且AB=10，
∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ABD=∠ACD= ∠ACB=45°，
∴∠AOD=90°，
则曲边三角形的面积是S扇形AOD+S△BOD= + ×5×5= + ，
所以答案是： + ；
【考点精析】关于本题考查的垂径定理和扇形面积计算公式，需要了解垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能得出正确答案．