Question

如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，M为AC中点，D、E分别是边AB、BC上的点，且DM⊥ME，下列结论：①AD=BE；②DM=ME；③CM=CE；④S_△ABC=2S_{四边形BEMD}，其中正确的是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

分析：利用等腰直角三角形的性质得出∠1=∠3，以及∠C=∠MBD进而得出△CME≌△BMD，再利用全等三角形的性质分析得出即可．

解答：证明：连接BM，
∵∠B=90°，AB=BC，M为AC中点，
∴BM⊥AC，BM=AM=AC，
∴∠1+∠2=90°，∠BAC=∠C=∠4=∠5=45°，
∵DM⊥ME，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△CME和△BMD中，

∠C=∠MBD MC=BM ∠1=∠3

，
∴△CME≌△BMD（ASA），
∴CE=BD，ME=MD，
∴AD=BE，
故：①AD=BE，②ME=MD正确；
无法得出∠1=45°，故无法得出∠1=∠C，故③错误；
∵△CME≌△BMD，
∴S_△CME=S_△BMD，
∴S_{四边形BEMD}=S_△BMC，
∵M为AC中点，则BM是△ABC的中线，
∴S_△ABM=S_△CBM，
∴④S_△ABC=2S_{四边形BEMD}，故此选项正确．
故选：C．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出△CME≌△BMD是解题关键．