Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与直线y=ax+b（a＜0）交于点A（-1，c），且两直线在x轴上截得的线段长为4，求直线y=ax+b与两坐标轴所围成的图形的面积．

Answer 1

分析：先把点A（-1，c）的坐标代入直线y=x+3求出c的值，从而确定出点A，然后求出直线y=x+3与x轴交点的坐标，从而确定出直线y=ax+b与x轴交点的坐标，再利用待定系数法求出直线y=ax+b的解析式，然后求出与坐标轴交点到原点的长度，根据三角形的面积公式求解．

解答：解：根据题意，点A（-1，c）在直线y=x+3上，
∴-1+3=c，
解得c=2，
∴点A的坐标是A（-1，2），
又当y=0时，0=x+3，
解得x=-3，
∴直线y=x+3与x轴交点的坐标是（-3，0），
∵两直线在x轴上截得的线段长为4，
∴直线y=ax+b与x轴的交点坐标是（-7，0）或（1，0），
∴①

-a+b=2 -7a+b=0

，
解得

a= 1 3 b= 7 3

（舍去），
②

-a+b=2 a+b=0

，
解得

a=-1 b=1

，
∴直线y=ax+b的解析式是：y=-x+1，
当x=0时，y=0+1=1，
∴与y轴的交点坐标是（0，1），
∴直线y=ax+b与两坐标轴所围成的图形的面积为：

1

2

×1×1=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求函数解析式，求出直线y=ax+b的解析式是解题的关键，也是解决本题的难点．