Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点为直线下方抛物线上一动点．

①如图2所示，直线交线段于点，求的最小值；

② 如图3所示，连接过点作于，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当时，的最小值为；②存在，点M的坐标为或（4，-6）．

【解析】

（1）解：在直线，分别令，.可得A(8，0)、B(0，4)，将A(8，0)、B(0，4)代入，解得b、c的值再代入即可解答.

（2）解：①如图1，过C作∥轴交直线AB于点E，过M作∥轴交直线AB于点F.可得CE∥MF，求出直线AB的解析式，进而求出C,E的坐标，即可求出答案；

②由△BOC∽△ABC∠ABC=∠AOB=90°，又于，即∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC < 45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在图2中，取AC中点H，连接BH，可得∠BHO=2∠BAC，，过D作DT轴于T，过M作MGTD交其延长线于G.可证△TBD∽△GDM，再根据三角函数得出当∠BMD=2∠BAC时，，∠MBD=2∠BAC时，，设（），则，，当∠BMD=2∠BAC时，，又，即可得出，当∠MBD=2∠BAC时，，，即可求出M的坐标

（1）解：在直线，分别令，.可得A(8，0)、B(0，4)，

将A(8，0)、B(0，4)代入有

解得：

∴

（2）解：①如图1，过C作∥轴交直线AB于点E，过M作∥轴交直线AB于点F.可得CE∥MF，

∴

设，

∵MF∥轴交直线AB于点F，直线AB：

∴，则

可求得C(2，0)，C作CE∥y轴交直线AB于点E，

∴E(2，5)，CE=5.

∴，

∴当时，的最小值为.

②存在.

理由如下：∵C(2，0)；B(0，4)；A(8，0)．

∴OC=2，OB=4，OA=8

可证△BOC∽△ABC.有∠ABC=∠AOB=90°，又于

∴∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC < 45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在图2中，取AC中点H，连接BH，可得∠BHO=2∠BAC，

OH=OAAH=3，tan∠BHO=.

过D作DT轴于T，过M作MGTD交其延长线于G.

可证△TBD∽△GDM，

又DMAB， tan∠DMB=，tan∠DBM=.

当∠BMD=2∠BAC时，∴，

∠MBD=2∠BAC时，，

设（），

则，

∴

当∠BMD=2∠BAC时，，又，

∴

解之得，，又0 < m < 8，

∴，点M的坐标为.

当∠MBD=2∠BAC时，

又，

∴

解之得，，又0<m<8，

∴，点M的坐标为

综合得存在满足条件的点M的坐标为或（4，-6）