Question

【题目】如图，直线y＝－x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求直线AM的表达式；

（3)在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）P（4,0）或或或.

【解析】

（1）求点A坐标，令y=0，得A点坐标（6,0），求点B坐标，令x=0，得A点坐标（0,8）；（2）由勾股定理可得线段AB=10，由折叠的性质可知，设，在中，由勾股定理可得x值，求出点M坐标用待定系数法可得直线AM的表达式；（3）

解：（1）y＝－x＋8

令则，

令，则

（2）由（1）知，由勾股定理得，

由折叠的性质可知，

设，则

在中，根据勾股定理得

解得

设直线AM的表达式为

则，解得

所以直线AM的表达式为.

（3）由（2）知，可得

①以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时

可得，所以P（4,0）；

②以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时

或1，所以或；

作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时

设，则 ，根据勾股定理得，解得

所以.

综合上述，点P的坐标为P（4,0）或或或