Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P，

小题1:当OA=时，求点O到BC的距离
小题2:如图2，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少？

小题3:若BC边与⊙O有公共点，直接写出 OA
的取值范围；
小题4:若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少？

Answer 1

 
小题1:解：在Rt△ABE中，．  ……………  1分
过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB， ∴，  ∴，  ∴，
∴点O到BC的距离为．     …………………………………………………    3分
小题2:证明：过点O作OE⊥BC于点E， OF⊥AC于点F，
∵△OEB∽△ACB， ∴ ∴，  ∴．
∴直线BC与⊙O相切．        ………………………………………………… 5分
此时，四边形OECF为矩形，
∴AF=AC-FC=3-=，
∵OF⊥AC，
∴AP=2AF=．                …………………………………………………   7分
小题3:；            …………………………………………………  9分
小题4:点O作OG⊥AC于点G， OH⊥BC于点H，
则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，
又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形． ………………… 10分
设正方形OGCH的边长为x，则AG=3-x，
∵OG∥BC，
∵△AOG∽△ABC，  ∴， ∴ ，
∴，
∴，
∴AP=2AG=．              …………………………………………………    12分

略