Question

如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长AB等于______（结果保留根号）；
（2）当∠D等于28°时，求∠BOD的度数；
（3）当AC的长度等于多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

Answer 1

解：（1）过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE=AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB•cos∠B=4×=2，
∴AB=4；
故答案为：4；

（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=28°，
∴∠DAB=58°，
∴∠BOD=2∠DAB=116°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC=AB=2．
∴当AC的长度为2时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似．
分析：（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；
（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；
（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．
点评：此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．