题目内容

如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0， $数学公式$ ），再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合．直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）试确定这个一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形不需计算过程，直接写出点P的坐标．

解：（1）∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2 $\text{[math]}$ ），
∴设y=kx+b
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ ；

（2）连接BC，设OC=x，则AC=CB=6-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB²+OC²=CB²，
（2 $\text{[math]}$ ）²+x²=（6-x）²，
解得x=2，
∴C点坐标为：（2，0）．

（3）设P点坐标为（x，0），
当PA=PB时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得x=2；
当PA=AB时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得x=6-4 $\text{[math]}$ 或x=6+4 $\text{[math]}$ ；
当PB=AB时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得x=-6．
∴P点坐标为（2，0），（6-4 $\text{[math]}$ ，0），（-6，0），（6+4 $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）利用A、B两点的坐标，即可利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
（3）根据x轴上点的坐标特点设出P点的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．
点评：此题主要考查了坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式，在解（3）时要注意分类讨论，不要漏解．