题目内容

在?ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E按逆时针方向旋转90°得到线段EF．如图所示．
（1）在图中画图探究：
①当p₁为线段CD延长线上任意一点时，连接．EP₁，将线段EP₁绕点E按逆时针方向旋转90°得到线段EG₁判断直线FG₁与直线CD的位置关系，并说明理由；（在图1中画）
②当P₂为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP₂，将线EP₂绕点E按逆时针方向旋转90°得到线段EG₂．判断直线FG₂与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（在图2中画）
（2）在①的条件下，连接FP₁、P₁G₁，若EP₁=8，AD=6，AE=1，AB：CE=3：4，求△P₁G₁F的面积．

解：（1）①直线FG₁与直线CD的位置关系为互相垂直．
证明：如图1，设直线FG₁与直线CD的交点为H．
∵线段EC、EP₁分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG₁，
∴∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC．
∵∠G₁EF=90°-∠P₁EF，∠P₁EC=90°-∠P₁EF，

∴∠G₁EF=∠P₁EC．
∴△G₁EF≌△P₁EC．
∴∠G₁FE=∠P₁CE．
∵EC⊥CD，
∴∠P₁CE=90°，
∴∠G₁FE=90度．
∴∠EFH=90度．
∴∠FHC=90度．
∴FG₁⊥CD．
②按题目要求所画图形见图1，直线G₁G₂与直线CD的位置关系为互相垂直．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC
∵AD=6，AE=1，AB：CE=3：4，
∴DE=5，CD：CE=3：4
可得CE=4
由（1）可得四边形FECH是正方形
∴CH=CE=4
∵（1）①如图2，P₁在线段CH的延长线上，
∵FG₁=CP₁
∴S_△P1FG1= $\text{[math]}$ ×FG₁•P₁H
在Rt△ECP₁中，EP₁=8，由勾股定理得
CP₁=FG₁=4 $\text{[math]}$
∴P₁H=4 $\text{[math]}$ -4
∴S_△P1FG1= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =24-8 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）①△P₁EC按要求旋转后得到的△G₁EF全等，再结合∠P₁CE=∠G₁FE=90°得出结论；
②按照要求画出图形，由图形即可得出答案；
（2）求三角形的面积的关键是确定三角形的底与高，结合已知可得CE=4，且由四边形FECH是正方形，并利用勾股定理CP₁的长是难点，求出后求底与高就比较简单，通过线段可以代换出来．从而求出三角形的面积．
点评：本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，三角形的面积，勾股定理的运用，全等三角形的运用等多个知识点．