Question

抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，P为抛物线的顶点，若∠APB=120°，则b²-4ac=    ．

Answer 1

【答案】分析：解答此题可分以下几步：①设A、B点坐标分别为x₁、x₂，求出用x₁、x₂表示的AB长度的表达式；
②求出抛物线顶点纵坐标表达式，其绝对值即为△APB的高；
③根据∠APB=120°，求出∠PAB的度数，通过三角函数建立起AB的长度与△APB的高的关系式；
④将b²-4ac看做一个整体，解方程即可得到正确答案．
解答：解：如图，作PD⊥x轴于D，
设A、B点坐标分别为x₁、x₂，
则AB=|x₁-x₂|===；
抛物线顶点坐标为（-，），
则DP的长为||，
∵∠APB=120°，
由抛物线是轴对称图形可知，△APB为等腰三角形，
可知，∠PAD=∠PBD==30°，
于是DP=tan30°•AD=tan30°•AB，
即||=××，
两边平方得，=，
去分母得，3（b²-4ac）²=4（b²-4ac），
移项得，3（b²-4ac）²-4（b²-4ac）=0，
（b²-4ac）[3（b²-4ac）-4]=0，
解得b²-4ac=0或b²-4ac=．
由于抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，故△＞0，
即b²-4ac=．
故答案为．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与两点间的距离的关系、抛物线顶点坐标及等腰三角形的性质和三角函数的相关知识，综合性较强．