Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的

3

5

？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10-t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出

AP

AB

=

AQ

AC

，列出比例式

10-t

10

=

2t

6

，求解即可；
（2）根据S_{四边形PQCB}=S_△ACB-S_△APQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AP•AQ•sinA，即可得出y关于t的函数关系式；
（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的

3

5

，列出方程

4

5

t²-8t+24=

3

5

×24，解方程即可；
（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB=10cm．
∵BP=t，AQ=2t，
∴AP=AB-BP=10-t．
∵PQ∥BC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
∴

10-t

10

=

2t

6

，
解得t=

30

13

；

（2）∵S_{四边形PQCB}=S_△ACB-S_△APQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AP•AQ•sinA
∴y=

1

2

×6×8-

1

2

×（10-2t）•2t•

8

10

=24-

4

5

t（10-2t）
=

4

5

t²-8t+24，
即y关于t的函数关系式为y=

4

5

t²-8t+24；

（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的

3

5

，理由如下：
由题意，得

4

5

t²-8t+24=

3

5

×24，
整理，得t²-10t+12=0，
解得t₁=5-

13

，t₂=5+

13

（不合题意舍去）．
故四边形PQCB面积能是△ABC面积的

3

5

，此时t的值为5-

13

；

（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①如果AE=AQ，那么10-2t=2t，解得t=

5

2

；
②如果EA=EQ，那么（10-2t）×

6

10

=t，解得t=

30

11

；
③如果QA=QE，那么2t×

6

10

=5-t，解得t=

25

11

．
故当t为

5

2

秒

30

11

秒

25

11

秒时，△AEQ为等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理，平行线的判定，四边形的面积，等腰三角形的判定，中心对称的性质，综合性较强，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．