Question

如图，在△AFC中，AF=AC，B是CF的中点，AH平分∠CAE，作CD⊥AH于D．
（1）证明：四边形ABCD是矩形．
（2）若BD交AC于O，证明：OB∥AF且OB=

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AF．
（3）若使四边形ABCD是正方形，需添加一个条件，请直接写出该条件．

Answer 1

证明：（1）在△AFC中，
∵AF=AC，
∴△ACF是等腰三角形，
∵B是CF的中点，
∴AB⊥FC，∠FAB=∠CAB，
∵AH是△AFC外角∠CAE的平分线，
∴∠EAH=∠CAH，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=

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×180°=90°，
又∵AB⊥FC，CD⊥AH，
∴∠ABC=∠CDA=90°，
∴四边形ABCD为矩形；

（2）∴∠EAC=∠AFC+∠ACF，AH是∠CAE的平分线，∠AFC=∠ACF，
∴∠EAH=∠AFC，
∴AD∥FB，
∵FB=BC，AD=BC，
∴AD=FB，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴BD∥AF且BD=AF，
∴OB=

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AF，
∴OB∥AF且OB=

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AF；

（3）给出正确条件即可．
例如，当AB=

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FC时，四边形ABCD是正方形．
∵B是CF的中点，
∴BC=

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FC，
又∵AB=

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2

FC，
∴BC=AB，
又∵（1）四边形ABCD为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．