Question

已知，如图，∠B，∠C的外角平分线交于点D，若∠A=40°，则∠D是多少度？你能将它一般化吗？试证明你的结论．

Answer 1

分析：根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行推导，得∠D=90°-

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∠A．

解答：解：∵∠EBC、∠BCF是△ABC的外角，
∴∠EBC=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）
=40°+180°=220°，
∵∠B，∠C的外角平分线交于点D，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠EBC+∠BCF）
=

1

2

×220°=110°，
∵△BCD中，∠DBC+∠DCB=110°，
∴∠D=180°-110°=70°；
∠D=90°-

1

2

∠A．
证明：∵∠EBC、∠BCF是△ABC的外角，
∴∠EBC=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）
=∠A+180°，
∵∠B，∠C的外角平分线交于点D，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠EBC+∠BCF）
=

1

2

×（∠A+180°）=

1

2

∠A+90°，
∵△BCP中，∠PBC+∠PCB=

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2

∠A+90°，
∴∠P=180°-（

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∠A+90°）=90°-

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2

∠A．

点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．