Question

如图，在边长为1的正方形ABCD的各边上，截取AE=BF=CG=DH=x，连接AF、BG、CH、DE构成四边形PQRS．用x的代数式表示四边形PQRS的面积S．则S=

 

．

Answer 1

分析：由正方形得出AD∥BC，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，根据全等三角形的判定证出△BAF≌△CBG≌△DCH≌△ADE，得出∠BAF=∠CBG=∠HCD=∠ADE，证△CGR≌△BFQ≌△AEP≌△DHS，得出正方形SPQR，设△DHS的面积是a，设四边形HSPA的面积是b，根据相似三角形的性质求出a、b的值，进一步求出a+b的值，由S_{四边形PQRS}=1×1-4（a+b），代入即可求出答案．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠EAD=∠HDC=∠GCB=∠FBA=90°，
∵AE=BF=CG=DH，
∴△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC（SAS），
∴∠EAP=∠HDE=∠FBQ=∠HCD，
∴∠QPS=∠ADE+∠DAP=∠BAF+∠DAP=∠BAD=90°，
同理∠PSR=90°∠SRQ=90°，
∴四边形PSRQ是矩形，
∵∠HSD=∠GRC=∠APE=∠BQF=90°，∠GCR=∠HDS=∠EAP=∠QBF，CG=HD=AE=BF，
∴△CGR≌△BFQ≌△AEP≌△DHS，
∴CR=DS=AP=BQ，GR=HS=EP=QF，
∵△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC，
∴DE=AF=BG=CH，
∴SR=SP，
∴矩形SPQR是正方形，
又∵S_△ADE=x/2，
设△DHS的面积是a，设四边形HSPA的面积是b，
CH∥AF，
∴△DSH∽△DPA，
∴

a

a+b

=

x2

12

，
∴

a

b

=

x2

1-x2

，
∴a=

x2

1-x2

b，
S_△AED=

1

2

x=2a+b=

1+x2

1-x2

b，
∴b=

x(1-x2)

2(1+x2)

，
a+b=

x

2(1+x2)

，
∴S_{四边形PQRS}=1×1-4（a+b）=

(1-x)2

1+x2

，
故答案为：

(1-x)2

1+x2

．

点评：本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．