Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，BD⊥CD，AD=2，BC=6．求sin∠ABC的值．

Answer 1

分析：分别过点A、D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．构造直角三角形和矩形，利用解直角三角形的知识求得所求角的正弦值即可．

解答：解：如图，分别过点A、D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．
∴AE∥DF．
又AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形．
∴EF=AD=2．（2分）
∵BD⊥DC，BD=DC，BC=6，
∴△BDC是等腰直角三角形，（3分）
∴DF=BF=AE=

1

2

BC=3．
∴DF=BF=3，BE=BF-EF=1．（4分）
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB=

AE2+BE2

=

10

，
∴sin∠ABC=

AE

AB

=

3

10

=

3 10

10

．（5分）

点评：本题考查了梯形的性质、勾股定理及锐角三角函数的定义，解题的关键是正确的构造直角三角形．