Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，AC平分∠DAB，点E为AC的中点．求证：DE=

1

2

BC．

Answer 1

分析：根据已知及相似三角形的判定可得到△AED∽△ACB，再根据相似三角形的边对应成比例即可得到结论．

解答：证明：证法一：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC．（1分）
∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC．（1+2分）
∵点E是AC的中点，∴DE⊥AC，（2分）
∵AC⊥BC，
∴∠AED=∠ACB=90°．（1分）
∴△AED∽△ACB．
∴

DE

BC

=

AE

AC

=

1

2

．
∴DE=

1

2

BC．（2+2+1分）
证法二：
延长DE交AB于点F，（1分）
∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，（1分）
∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC．（1+2分）
∵点E是AC的中点，∴DE⊥AC，（2分）
∵AC⊥BC，∴∠CED=∠ACB=90°，
∴EF∥BC．（1分）
∴点F是AB的中点．
∴EF=

1

2

BC．（1+1分）
∵

DE

EF

=

CE

AE

，
∴DE=EF=

1

2

BC．（1+1分）

点评：此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用．