题目内容

如图，光明乡的A、B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为 $数学公式$ 千米，他们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A、B两村输送自来水．
（1）在图上作出向A、B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M；（只需作图，不需要证明）
（2）经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均为每千米3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元？

解：（1）作图如右图所示；

（2）过B作BE⊥AA′于E．
∵A、B两个村庄在河C、D距离分别是1千米和3千米，
∴AE=2千米，
在直角△AEB中：BE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3（千米），
∵A′E=4千米，
∴A′B= $\text{[math]}$ =5（千米），
∴完成这项工程乡政府投入的资金资至少为：
20+3×5+5=40（万元）．
答：完成这项工程乡政府投入的资金至少为40万元．
分析：（1）作出A关于CD的对称点A′，再连接A′B，A′B与CD的交点就是水厂位置M；
（2）过B作BE⊥AA′于E，首先利用勾股定理计算出EB的长，再利用勾股定理计算出AB的长，再根据总费用=修建水厂需20万元+铺设水管的所有费用+其他费用需5万元即可得到答案．
点评：此题主要考查了作图与应用设计，以及勾股定理的应用，关键是正确找出M点的位置．