Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝BC，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，以下四个结论：①BE＝AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④．其中正确的个数是( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据E是内心，可得出∠CAD=∠BAD，则点D为弧BC的中点，又由AC=BC，得CE⊥AB；则延长BE交圆于一点也一定是弧AC的中点，则BE=AE；根据同弧所对的圆周角相等，得出三角形DEB与ABC三个角分别对应相等．则三角形DEB与ABC相似，从而得出第4个结论正确．

∵E是内心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，
点D为弧BC的中点，
∵AC=BC，且CE为∠ACB的平分线，
∴CE⊥AB（三线合一），选项②正确；
∵AC=BC，∠ACE=∠BCE，CE=CE，
∴△ACE≌△BCE，（SAS）
∴∠CAE=∠CBE，
∴BE=AE，选项①正确；
∵∠CAD=∠BAD，
∴，
∴∠DBC=∠DAB，
∴∠EAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，即∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB，
∴△DEB是等腰三角形，选项③正确；
∵△ABC和△BED都为等腰三角形，且两顶角∠ACB=∠EDB，
∴△ABC∽△BED，
∴，
∴=，
∵DE=DB，BE=AE，
∴，选项④正确，
∴正确结论有4个．
故选：D．