Question

如图：矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠CAD=15°，则矩形ABCD的面积S=________cm²．

Answer 1

16
分析：首先取∠DCE=60°，CE交AD于E，由四边形ABCD是矩形，∠CAD=15°，易求得△AEC是等腰三角形，∠DEC=30°，即可设CD=xcm，根据直角三角形的性质求得DE与EC的长，即可求得AD的长，又由AC=8cm，在Rt△ACD中，利用勾股定理可得方程[（2+）x]²+x²=64，解此方程求得x²的值，然后由矩形ABCD的面积S=AD•CD，将x²的值代入即可求得答案．
解答：解：如图：取∠DCE=60°，CE交AD于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，
∵∠CAD=15°，
∴∠ACD=75°，
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=75°-60°=15°，
∴∠ACE=∠CAD，
∴AE=CE，∠DEC=∠EAC+∠ECA=30°，
在Rt△DCE中，EC=2DC，
DE===DC，
设DC=xcm，则DE=xcm，AE=EC=2xcm，
∴AD=AE+DE=（2+）xcm，
在Rt△ACD中，AD²+CD²=AC²，
∵AC=8cm，
∴[（2+）x]²+x²=64，
解得：x²=32-16，
∴矩形ABCD的面积S=AD•CD=（2+）x²=（2+）（32-16）=16（cm²）．
故答案为：16．
点评：此题考查了矩形的性质与直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．