Question

如图，A、B是两座现代化城市，C是一个古城遗址，C城在A城的北偏东30°，在B城的北偏西45°，且C城与A城相距120千米，B城在A城的正东方向，以C为圆心，以60千米为半径的圆形区域内有古迹和地下文物，现要在A、B两城市修建一条笔直的高速公路．
（1）请你计算公路的长度（保留根号）；
（2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意知△ABC中，∠CAB=60°，∠ABC=45°，AC=120，求AB长；
（2）根据“化斜为直”的原则，作CD⊥AB于D点，通过解直角三角形求解；比较CD与60的大小得出结论．

解答：解：作CD⊥AB于D点．
（1）在Rt△ACD中，
CD=AC•sin60°=120×

3

2

=60

3

，AD=AC•cos60°=120×

1

2

=60，
在Rt△BCD中，BD=CD•tan45°=60

3

×1=60

3

，
所以AB=AD+DB=60+60

3

（km）；

（2）不可能．因为CD=60

3

＞60，所以不可能对文物古迹造成损毁．

点评：“化斜为直”是解三角形的常规思路，需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．