Question

如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）、D(2, n)三点．

（1）求抛物线的解析式及点D坐标；

（2）点M是抛物线对称轴上一动点，求使BM－AM的值最大时的点M的坐标；

（3）如图2，将射线BA沿BO翻折，交y轴于点C，交抛物线于点N，求点N的坐标；

(4)在（3）的条件下，连结ON,OD，如图2，请求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

 

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）

∴抛物线的解析式是y=x²﹣3x．

∴D点的坐标为（2，﹣2）．    （2）设直线AB解析式为：y=kx+m,     将 A（3，0）、B（4，4）代人解得

直线AB解析式为：y=4x-12,  抛物线对称轴为x=

当x=时，y=-6,  ∴当点M（，-6）时，BM-AM的值最大。∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），

根据轴对称性质得出∠CBO=∠ABO，∠COB=∠AOB，OB=OB, ∴⊿AOB≌⊿COB,

∴OC=OA,  ∴点C（0，3） 

设直线CB的解析式为y=kx+3，过点（4，4），

∴直线CB的解析式是y=，

∵点N在直线CB上，

∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x²﹣3x上，

∴=n²﹣3n，解得：n₁=﹣，n₂=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣，）．

（4）方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，则N₁（，），

B₁（4，﹣4），∴O、D、B₁都在直线y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，

∴△P₁OD∽△N₁OB₁，∴，  ∴点P₁的坐标为（，）．将△OP₁D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P₂（，），

综上所述，点P的坐标是（，）或（，）

方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N₂OB₂，

则N₂（，），B₂（4，﹣4），∴O、D、B₁都在直线y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₂OB₂，∴△P₁OD∽△N₂OB₂，

∴，∴点P₁的坐标为（，）．

将△OP₁D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P₂（，），

综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．