Question

【题目】如图，在中， ．在同一平面内，内部一点到的距离都等于（为常数），到点的距离等于的所有点组成图形．

（1）直接写出的值；

（2）连接并延长，交于点，过点作于点．

①求证：；

②求直线与图形的公共点个数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②直线与图形的公共点个数为1

【解析】

（1）连接OA，OB，OC，推出∠A=90°，再根据S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC列式求解即可；

（2）根据题意得出OB平分∠ABC，即，再根据，即可证明；

（3）设与的切点为，连接，作于点，证明即可得出答案．

解：（1）连接OA，OB，OC，

∵AB=3，AC=4，BC=5，

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠BAC=90°，

∴S△ABC=ABAC=×3×4=6，

∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC

=（AB+AC+BC）×a

=（3+4+5）×a

∴×12a=6

∴a=1；

（2）

①由题意可知图形是以为圆心，为半径的圆，与相切，

∵点O到AB、BC的距离为1，

∴OB平分∠ABC，

∴，

∵，

∴∠A=90°，

∵，

∴，

∴∠BMA=90°-∠ABM，

∠BMN=90°-∠NBM，

∴；

②如图，设与的切点为，连接，作于点，

∵，OE⊥MN，

∴∠ODM=∠OEM，

由①可知∠BMA=∠BMN，

又∵OM=OM，

∴△ODM≌△OEM，

∴，

∴为的半径，

∴为的切线，

∴直线与图形的公共点个数为1．