题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？
（2）求证：△ABG∽△BFE；
（3）设AD=a，AB=b，BC=c
①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；
②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．
【答案】分析：（1）根据折叠的性质可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根据直角三角形斜边大于直角边可得DE＞EG，从而判断点E不可能是AD的中点；
（2）方法一：根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；
方法二：与方法一相同求出∠ABG=∠EFB后，根据等腰三角形的两腰相等，然后根据两边对应成比例且夹角相等判断出两个三角形相似；
（3）①方法一：根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
方法二：过点D作DH⊥BC于点H，然后求出∠C=∠ABD，再根据直角相等，判断出△ABD和△HCD相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
方法三：先求出△ABD和△GFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BF的长度，再求出△EDG和△FBG相似，根据平行四边形的对边相等表示出ED，再表示出DG，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；
②方法一：把b=2代入a、b、c的关系式，利用求根公式求出a的两个根，再根据a是唯一的，可以判定△=c2-16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°；
方法二：把b=2代入a、b、c的关系式，利用根与系数的关系判断出关于a的方程的解是正数，再根据a是唯一的，可以判定△=c2-16=0，然后求出c=4，再代入根与系数的关系求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°．
解答：解：（1）不可以．…1分
据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，
∴Rt△EGD中，GE＜ED，
∴AE＜ED，
故，点E不可以是AD的中点；…2分
（注：大致说出意思即可；反证法叙述也可）
（2）方法一：
证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB，…4分
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，
∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE，…5分
∴△ABG∽△BFE，
（注：证一对角对应等评2分，第二对角对应等评1分，该小问3分，若只证得△FEB为等腰三角形，评1分．）
方法二：∠ABG=∠EFB（见方法一），…4分
证得两边对应成比例：
，…5分
由此可得出结论．
（注：两边对应成比例，夹角等证得相似，若只证得△FEB为等腰三角形，评1分．）
（3）①方法一：∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC，
证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，…7分
∴
，
即
，
∴a2+b2=ac；…8分
方法二：如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形EFCD为平行四边形
∴EF∥DC，
∴∠C=∠EFB，
∵△ABG∽△BFE，
∴∠EFB=∠GBA，
∴∠C=∠ABG，
∵∠DAB=∠DHC=90°，
∴△ABD∽△HCD，…7分
∴
，
∴
，
∴a2+b2=ac；…8分（注：或利用tan∠C=tan∠ABD，对应评分）
方法三：证明△ABD∽△GFB，则有
，
∴
，则有BF=
，…6分
∵四边形EFCD为平行四边形，
∴FC=ED=c-
，
∵ED∥BC，
∴△EDG∽△FBG，
∴
，
∴
，
∴a2+b2=ac；…8分
②方法一：解关于a的一元二次方程a2-ac+22=0，得：
a1=
，a2=
…9分
由题意，△=0，即c2-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2…10分
∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；…11分
方法二：设关于a的一元二次方程a2-ac+22=0两根为a1，a2，
a1+a2=c＞0，a1•a2=4＞0，
∴a1＞0，a2＞0，…9分
由题意，△=0，即c2-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2，…10分
∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°．…11分
点评：本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．
（2）方法一：根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；
方法二：与方法一相同求出∠ABG=∠EFB后，根据等腰三角形的两腰相等，然后根据两边对应成比例且夹角相等判断出两个三角形相似；
（3）①方法一：根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
方法二：过点D作DH⊥BC于点H，然后求出∠C=∠ABD，再根据直角相等，判断出△ABD和△HCD相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
方法三：先求出△ABD和△GFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BF的长度，再求出△EDG和△FBG相似，根据平行四边形的对边相等表示出ED，再表示出DG，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；
②方法一：把b=2代入a、b、c的关系式，利用求根公式求出a的两个根，再根据a是唯一的，可以判定△=c2-16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°；
方法二：把b=2代入a、b、c的关系式，利用根与系数的关系判断出关于a的方程的解是正数，再根据a是唯一的，可以判定△=c2-16=0，然后求出c=4，再代入根与系数的关系求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°．
解答：解：（1）不可以．…1分
据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，
∴Rt△EGD中，GE＜ED，
∴AE＜ED，
故，点E不可以是AD的中点；…2分
（注：大致说出意思即可；反证法叙述也可）
（2）方法一：
证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB，…4分
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，
∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE，…5分
∴△ABG∽△BFE，
（注：证一对角对应等评2分，第二对角对应等评1分，该小问3分，若只证得△FEB为等腰三角形，评1分．）
方法二：∠ABG=∠EFB（见方法一），…4分
证得两边对应成比例：
，…5分由此可得出结论．
（注：两边对应成比例，夹角等证得相似，若只证得△FEB为等腰三角形，评1分．）
（3）①方法一：∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC，
证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，…7分
∴
，即
，∴a2+b2=ac；…8分
方法二：如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形EFCD为平行四边形
∴EF∥DC，
∴∠C=∠EFB，
∵△ABG∽△BFE，
∴∠EFB=∠GBA，
∴∠C=∠ABG，
∵∠DAB=∠DHC=90°，
∴△ABD∽△HCD，…7分
∴
，∴
，∴a2+b2=ac；…8分（注：或利用tan∠C=tan∠ABD，对应评分）
方法三：证明△ABD∽△GFB，则有
，∴
，则有BF=，…6分∵四边形EFCD为平行四边形，
∴FC=ED=c-
，∵ED∥BC，
∴△EDG∽△FBG，
∴
，∴
，∴a2+b2=ac；…8分
②方法一：解关于a的一元二次方程a2-ac+22=0，得：
a1=
，a2=…9分由题意，△=0，即c2-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2…10分
∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；…11分
方法二：设关于a的一元二次方程a2-ac+22=0两根为a1，a2，
a1+a2=c＞0，a1•a2=4＞0，
∴a1＞0，a2＞0，…9分
由题意，△=0，即c2-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2，…10分
∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°．…11分
点评：本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．
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（1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
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