Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．
①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
②当x＞0时，双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：①根据一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于C，D两点，由C点坐标为（1，4），得出反比例函数的解析式即可；再利用D点坐标（4，m）代入解析式求出即可；
②双曲线上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=

4

x

交点，易证△POC≌△POD，则S_△POC=S_△POD．

解答：解：①∵一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于C，D两点，
由C点坐标为（1，4），
∴反比例函数的解析式为：xy=4，
即y=

4

x

；
把D点坐标（4，m）代入解析式得出：m=1；

②双曲线上存在点P（2，2），使得S_△POC=S_△POD，理由如下：
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
∴OD=OC=

17

，
∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP=∠POD，又OP=OP，
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
可得∠COB=∠DOA，
又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=

4

x

交点，
∴∠BOP=∠POA，
∴P点横纵坐标坐标相等，
即xy=4，x²=4，
∴x=±2，
∵x＞0，
∴x=2，y=2，
故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，以及角平分线的性质，把结论转化为方程的问题是解题关键．