Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，已知点．

（1）求出点，点的坐标.

（2）是直线上一动点，且和的面积相等，求点坐标.

（3）如图2，平移直线，分别交轴，轴于交于点，，过点作平行于轴的直线，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标.

图1 图2

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）存在，.

【解析】

（1）根据A,B坐标的特点即可求解；

（2）分P点在线段AB上、直线AB上根据三角形的面积公式即可求解；

（3）设Q（-2，t），分别求出AB2,AQ2,BQ2，根据等腰三角形的性质分情况讨论即可求解.

（1）令y==0，解得x=-4，

∴A（-4,0）

令x=0，y==2，

∴B（0,2）

（2）如图，当P点在线段AB上，设P（x，）

∵ ，A（-4,0），B（0,2）

∴CO=2=OB，OA=4

∵和的面积相等

∴BO×(-x)= CO×（），即×2×(-x)= ×2×（）

解得x=

∴

如图，当P点在直线AB上，当P在BA的延长线上，S△BOP＞S△COP

故P在AB的延长线上，

设P（x，）

∵和的面积相等

∴BO×x= CO×（），即×2×x= ×2×（）

解得x=4

∴

综上，或；

（3）∵过点作平行于轴的直线，点在直线上是

∴设Q（-2，t），

∵A（-4,0），B（0,2）

∴AB2=20，AQ2=22+t2=4+t2，BQ2=22+（2-t）2=4+（2-t）2，

故当AB=BQ，即20=4+（2-t）2，

解得：t=-2或t=6

故Q

故当AB=AQ，即20=4+t2，

解得：t=±4

故

当AQ=BQ，即4+t2=4+（2-t）2，

解得：t=1

∵（-2,1）在直线y=上，故舍去

∴Q点坐标为：.