Question

【题目】如图，在中，，点，分别为，上一点，，连接，，.

（1）如图1，若，，求的长；

（2）如图2，连接交于点，点为上一点，连接交于点，若，求证：；

（3）在（2）的条件下，若，直接写出线段，，的等量关系.

Answer 1

【答案】（1）9-（2）见解析（3）AD+MC= AC，理由见解析.

【解析】

（1）过点D作DF⊥BE，根据等边三角形的的性质求出DF的长，再利用勾股定理求出CF，即可求出EC的长；

（2）作AG=AB, 得到△ABG为等边三角形，先证明△ABE≌△AGM，再证明△AGC≌△CED，得到CG=DE，再根据MG=BE=DE即可求解；

（3）作AH⊥BC，根据∠ACB=45°，∠BAC=75°，得到∠BAH=30°，∠HAC=45°设BH=x,

根据含30°的直角三角形与等腰直角三角形的性质分别表示出AD,MC,AC，即可求解.

（1）∵，=

∴△BDE为等边三角形，

作DF⊥BE，

∴EF=BE=

∴DF=

∵CD=

∴CF==9

∴EC=CF-EF=9-；

（2）作AG=AB,∵∠B=60°，

∴△ABG为等边三角形，

∵AE=AM，∠ABE=∠AGM=60°，

∴△ABE≌△AGM，

∴∠ADC=60°+∠2=∠DAC=60°+∠1

故∠1=∠2，

∵∠AGC=120°=∠CED，AC=CD

∴△AGC≌△CED，

∴CG=DE，

又MG=BE=DE,

∴MC=MG+CG=2DE.

（3）∵∠ACB=45°，∠BAC=75°，

∴∠1=∠2=15°，

作AH⊥BC，∴∠BAH=30°，∠HAC=45°

设BH=x,

∴AB=2x,AH=x=CH

∴AC==x，BC=(+1)x,

故CG=BC-BG=(-1)x,BD=CG=(-1)x

AD=AB-BD=(3-)x

CM=(2-x)x

∴AD+MC=(+1)x=AC

即AD+MC= AC.