Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M分别交坐标轴于点A、B、C，圆的半径为

5

，点M（1，1）．
（1）若抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，求此抛物线的函数解析式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在一点D，使得DO把△BOC的面积分成1：2两部分？若存在，求出直线DO的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）若一个动点P自OC的中点H出发，先到达x轴上某点（设为点E）．再到达（1）中抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点C，求使点P运动的总路程最短的点E、F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

Answer 1

分析：（1）过M点作DM⊥x轴于点D，作ME⊥y轴于点E，分别求出OA、OB、OC的长度即可得出三点坐标，利用待定系数法可求此抛物线的函数解析式．
（2）先求出直线BC的解析式，设直线OD的解析式为y=kx，求出OD与BC的交点坐标，分两种情况讨论，①S_△BOD=

1

3

S_△BOC，②S_△BOD=

1

3

S_△BOC，从而分别求出k的值．
（3）C点关于对称轴的对称点C′，做H点关于x轴的对称点H′，连接C′H′，则E、F分别为直线C′H′与x轴和抛物线对称轴的交点，求出H'、C'的坐标，即可得出这个最短总路径的长．

解答：解：（1）过M点作DM⊥x轴于点D，作ME⊥y轴于点E，则OD=OE=1，连接BM，

在Rt△BMD中，BD=

5-1

=2，
∴CE=BD=2，AD=DB=2，
∴点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
代入抛物线解析式可得：

c=3 a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

故抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）存在这样的点D．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B（3，0），点C（0，3）代入可得：

n=3 3m+n=0

，
解得：

m=-1 n=3

，
故BC的解析式为y=-x+3，
设直线OD的解析式为y=kx，
由

y=kx y=-x+3

，得

x= 3 k+1 y= 3k k+1

，
∴OD与BC的交点为（

3

k+1

，

3k

k+1

），
∴S△BOD=

1

2

×3×

3k

k+1

=

9k

2(k+1)

，
①若

9k

2(k+1)

=

1

3

S△BOC=

3

2

，
则k=

1

2

；
②若

9k

2(k+1)

=

2

3

S△BOC=3，
则k=2．
所以直线OD的解析式为y=

1

2

x或y=2x．

（3）作点C关于直线x=1的对称点C'（2，3），作H点关于x轴的对称点H'（0，-

3

2

），
直线C'H'与x轴交于点E，与直线x=1交于点F，则点E、F即为所求，

求得直线C'H'的解析式为y=

9

4

x-

3

2

，
∴E(

2

3

，0)，F(1，

3

4

)，C′H′=

22+ 81 4

=

97

2

，
所以最短路径的长为

97

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、垂径定理及轴对称求最短路径的知识，要求同学们掌握分类讨论思想的运用，第三问关键是确定点E、点F的位置，此题难度较大．